आयत (rectangle) एक चतुर्भुज है जिसमें सभी कोण समान होते हैं और विपरीत भुजाएँ समान और समानांतर होती हैं। हमारे चारों ओर कई आयताकार वस्तुएँ हैं। प्रत्येक आयताकार आकार को दो आयाम, लंबाई और चौड़ाई होते है। आयत की लंबी भुजा को लंबाई तथा छोटी भुजा को चौड़ाई कहते हैं। इस अध्याय में हम आयत की आकृति और उसके गुणों के बारे में जानेंगे।
What is a Rectangle?
एक आयत चार भुजाओं वाली एक बंद द्वि-आयामी आकृति है। एक आयत की सम्मुख भुजाएँ एक-दूसरे के बराबर और समानांतर होती हैं और आयत के सभी कोण 90° के बराबर होते हैं। नीचे दिए गए आयत का निरीक्षण करके उसकी आकृति, भुजाएँ और कोण देखें
Properties of a Rectangle
आयत एक बंद आकृति होती है जिसकी चार भुजाएँ होती हैं और आसन्न भुजाओं से बनने वाला कोण 90° होता है। एक आयत में गुणों की एक विस्तृत श्रृंखला हो सकती है। आयत के कुछ महत्वपूर्ण गुण नीचे दिए गए हैं।
- एक आयत एक चतुर्भुज है।
- एक आयत की सम्मुख भुजाएँ एक दूसरे के बराबर और समानांतर होती हैं।
- प्रत्येक शीर्ष पर एक आयत का आंतरिक कोण 90° है।
- सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होता है।
- विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
- विकर्णों की लंबाई बराबर होती है।
- पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके विकर्णों की लंबाई प्राप्त की जा सकती है। भुजा a और b वाले विकर्ण की लंबाई है, विकर्ण = (a2 + b2)।
- चूँकि एक आयत की भुजाएँ समानांतर होती हैं, इसलिए इसे समांतर चतुर्भुज भी कहा जाता है।
- सभी आयत समांतर चतुर्भुज हैं लेकिन सभी समांतर चतुर्भुज आयत नहीं हैं
Diagonal of a Rectangle
आयत का विकर्ण एक रेखाखंड होता है जो इसके किन्हीं दो असंबद्ध शीर्षों को मिलाता है। निम्नलिखित आयत में, AC और BD समान लंबाई के विकर्ण हैं। एक विकर्ण एक आयत को 2 समकोण त्रिभुजों में काटता है, जिसमें विकर्ण कर्ण बनाता है, और आयत की दो आसन्न भुजाएँ त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ बनाती हैं।
Diagonal AC = Diagonal BD
Formula for diagonal of rectangle
एक आयत के विकर्ण का सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। ऊपर दी गई आकृति का अनुसरण करते हुए, आइए हम लंबाई ‘l’ और चौड़ाई ‘w’ के एक आयत पर विचार करें। मान लीजिए कि प्रत्येक विकर्ण की लंबाई “d” है।
पाइथागोरस प्रमेय को त्रिभुज ABD पर लागू करने पर, d2 = l2 + w2
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेते हुए,
![\[ \boxed {\sqrt{d^{2}} = \sqrt{(l^{2}) + (w^{2})}} \]](https://www.hinditutorials.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3002610423143b7b80021300570a1919_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
इस प्रकार, एक आयत सूत्र का विकर्ण विकर्ण (d) होता है: (l² + w²)
![\[ \boxed { d = \sqrt{(l^{2}) + (w^{2})}} \]](https://www.hinditutorials.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-97b9a2159833b7ff6efca9328fb8cd35_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
और इस प्रकार आयत की लंबाई और चौड़ाई ज्ञात होने पर आयत के विकर्णों की गणना की जा सकती है।
How To Calculate Area of a Rectangle
एक आयत का क्षेत्रफल एक आयत में फिट होने वाले इकाई वर्गों की संख्या है। दूसरे शब्दों में, आयत द्वारा घेरा गया स्थान आयत का क्षेत्रफल है। आयताकार आकार के कुछ उदाहरण लैपटॉप मॉनीटर, ब्लैकबोर्ड, पेंटिंग कैनवास आदि की सपाट सतह हैं। हम इन वस्तुओं द्वारा कब्जा किए गए स्थान को खोजने के लिए आयत के क्षेत्र के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
उदाहरण के लिए, आइए हम 6 इंच लंबाई और 3 इंच चौड़ाई वाले आयत पर विचार करें। आइए हम आयत के अंदर इकाई वर्ग बनाते हैं। प्रत्येक इकाई वर्ग लंबाई 1 इंच का एक वर्ग है। अब, नीचे दी गई आकृति में इकाई वर्गों की संख्या गिनें। आप कितने वर्ग देख सकते हैं? कुल मिलाकर 18 वर्ग हैं।
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हम पहले ही जान चुके हैं कि क्षेत्रफल को वर्ग इकाई में मापा जाता है। चूंकि इस आयत की इकाई इंच में दी गई है, इसलिए क्षेत्रफल को मापा और वर्ग इंच में लिखा गया है। अत: आयत का क्षेत्रफल = 18 वर्ग इंच। इस प्रकार, एक आयत के क्षेत्रफल की गणना तब की जा सकती है जब उसकी भुजाएँ (लंबाई और चौड़ाई) ज्ञात हों।
Formula for the area of the rectangle
एक आयत के क्षेत्रफल का सूत्र जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः ‘l’ और ‘w’ है, उसकी लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल है, जो है:
![\[ \boxed { आयत का क्षेत्रफल (A) = l x w} \]](https://www.hinditutorials.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5b1e4664c8909344cafe12054006173c_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Perimeter of a Rectangle
एक आयत का परिमाप (Perimeter) एक आयत की कुल सीमा की लंबाई है। इसे आयत की लंबाई और चौड़ाई के कुल माप के योग के रूप में लिया जा सकता है और इसे रैखिक इकाइयों जैसे सेमी, इंच आदि में व्यक्त किया जाता है।
उदाहरण के लिए, यदि आपको अपनी आयताकार नोटबुक की सीमा को सजाने की आवश्यकता है, तो आप आसानी से गणना कर सकते हैं कि परिधि का पता लगाकर आपको कितने रिबन की आवश्यकता होगी या यदि आपको अपने बगीचे के चारों ओर बाड़ लगाने की आवश्यकता है, तो बगीचे की परिधि आपको देगी तार की सटीक लंबाई की आपको आवश्यकता होगी। एक आयत के परिमाप की गणना करने के लिए प्रयुक्त सूत्र की व्याख्या नीचे की गई है।
Formula for Rectangle Perimeter
एक आयत, जिसकी लंबाई और चौड़ाई क्रमशः ‘l’ और ‘w’ है, के परिमाप, ‘P’ का सूत्र 2(l + w) है।
![\[ \boxed { आयत का परिमाप (P) = 2(l + w) } \]](https://www.hinditutorials.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-43fc714d4852a85b340c85dee6cfde6e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Types of Rectangles
वह चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाएँ समान हों और आसन्न भुजाएँ 90° पर मिलती हों, आयत कहलाता है। एक आयत में दो समान विकर्ण होते हैं। विकर्णों की लंबाई की गणना लंबाई और चौड़ाई का उपयोग करके की जाती है। आयताकार दो प्रकार के होते हैं:
- वर्ग (Square)
- गोल्डन आयत (Golden Rectangle)
वर्ग (Square)
एक वर्ग चार समान भुजाओं और चार समान कोणों वाला एक बंद द्वि-आयामी आकार है। यह एक प्रकार का आयत है जिसमें चारों भुजाएँ बराबर होती हैं। प्रत्येक शीर्ष पर आंतरिक कोण 90º है जो आयत की परिभाषा को संतुष्ट करता है। नीचे दिए गए वर्ग का निरीक्षण करें जो एक आयत होने के सभी गुणों को पूरा करता है।
गोल्डन आयत (Golden Rectangle)
एक गोल्डन आयत एक आयत है जिसका ‘लंबाई से चौड़ाई’ का अनुपात गोल्डन अनुपात, 1: (1+⎷5)/2 के समान है। इसकी भुजाओं को गोल्डन अनुपात अर्थात 1:1.618 के अनुसार परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, यदि चौड़ाई लगभग 1 फुट लंबी है तो लंबाई 1.168 फीट लंबी होगी।
Solved Examples on Properties of Rectangle
Question 1: पंकज के पास एक आयताकार फोटो फ्रेम है जो 6 इंच लंबा और 3 इंच चौड़ा है। क्या आप पंकज को उसका क्षेत्रफल खोजने में मदद कर सकते हैं?
Solution:
हम एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र जानते हैं। आयत का क्षेत्रफल = (लंबाई × चौड़ाई)। अत: आयताकार फ्रेम का क्षेत्रफल = 6 × 3 = 18 वर्ग इंच
अतः फोटो फ्रेम का क्षेत्रफल = 18 वर्ग इंच
Question 2: कविता अपने बगीचे के लिए एक आयताकार बाड़ बनाना चाहती है। बाड़ की परिधि 30 फीट है। बाड़ की लंबाई 10 फीट है। क्या आप कविता को बाड़ की चौड़ाई खोजने में मदद कर सकते हैं?
Solution:
हम जानते हैं कि आयत का परिमाप निकालने का सूत्र है, आयत का परिमाप = 2 (लंबाई + चौड़ाई)
हमारे पास परिधि = 30 फीट और लंबाई = 10 फीट है, तो आइए परिधि सूत्र का उपयोग करके चौड़ाई ज्ञात करे..
आइए हम ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें,
एक आयत का परिमाप = 2 (लंबाई + चौड़ाई),
30 = 2 (10 + चौड़ाई)
इसे और हल करने पर, हमें मिलता है, 10 + चौड़ाई = 15, और चौड़ाई = 5 इकाइयाँ
अतः बाड़ की चौड़ाई = 5 फीट
FAQs on Rectangle
What is a Rectangle in Geometry?
आयत एक द्वि-विमीय आकृति (2D आकृति) होती है जिसमें सम्मुख भुजाएँ एक-दूसरे के समानांतर और बराबर होती हैं और चारों कोण समकोण होते हैं। किसी आयत की छोटी भुजा को उसकी चौड़ाई (चौड़ाई) तथा लंबी भुजा को लंबाई कहते हैं। सबसे सामान्य ज्यामितीय आकृतियों में से एक जो हम अपने दैनिक जीवन में देखते हैं वह है आयत।
How to Find the Length of a Rectangle?
यदि परिधि और चौड़ाई ज्ञात हो तो आयत की लंबाई की गणना की जा सकती है।
उदाहरण के लिए, यदि एक आयत का परिमाप 32 इकाई है और उसकी चौड़ाई 4 इकाई है, तो हम लंबाई प्राप्त करने के लिए परिमाप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
आयत का परिमाप = 2 (l + w)। आइए हम ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें, 32 = 2 (लंबाई + 4)।
इसे हल करने पर हमें लंबाई + 4 = 16, यानी लंबाई = 12 इकाई मिलती है। इसी तरह, यदि आयत का क्षेत्रफल और चौड़ाई ज्ञात है, तो आयत के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग करके और ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करके लंबाई की गणना की जा सकती है।
How to Find the Width of a Rectangle?
यदि क्षेत्रफल और लंबाई ज्ञात हो तो आयत की चौड़ाई की गणना की जा सकती है।
उदाहरण के लिए, यदि एक आयत का क्षेत्रफल 48 इकाई है और उसकी लंबाई 12 इकाई है, तो हम चौड़ाई प्राप्त करने के लिए क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
आयत का क्षेत्रफल = l × w। आइए हम ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें, 48 = 12 × चौड़ाई। इसे हल करने पर हमें चौड़ाई = 48/12, यानी चौड़ाई = 4 इकाई प्राप्त होती है। इसी तरह, यदि आयत का परिमाप और लंबाई ज्ञात है, तो आयत की परिधि के लिए सूत्र का उपयोग करके और ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करके चौड़ाई की गणना की जा सकती है।
How to Find the Diagonal of a Rectangle?
एक आयत के विकर्ण की लंबाई की गणना की जा सकती है यदि लंबाई और चौड़ाई ज्ञात हो। चूँकि एक आयत का विकर्ण अपनी भुजाओं के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है, विकर्ण कर्ण बन जाता है और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके इसके मान की गणना की जा सकती है।
उदाहरण के लिए, यदि एक आयत की लंबाई 4 इकाई के रूप में दी गई है और चौड़ाई 3 इकाई है, तो हम सूत्र, विकर्ण (d) = √(l² + w²) का उपयोग करके विकर्ण की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। तो, आइए हम इसमें लंबाई और चौड़ाई के मान को प्रतिस्थापित करें। विकर्ण (d) = √(l² + w²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 इकाइ।
What is the Formula for the Area of a Rectangle?
एक आयत का क्षेत्रफल उसके द्वारा घेरा गया स्थान है। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल होता है। आयत के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र है: क्षेत्रफल = L × B; जहाँ (L) लंबाई है और (B) आयत की चौड़ाई है
How to Find the Perimeter of a Rectangle?
एक आयत का परिमाप उसकी लंबाई और चौड़ाई के योग का दोगुना होता है और इसे परिमाप = 2 (लंबाई + चौड़ाई) सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है। इसे रैखिक इकाइयों जैसे सेमी, इंच आदि में व्यक्त किया जाता है।
What is a 3D Rectangle Called?
एक 3D आयत को आयताकार प्रिज्म कहा जाता है। आयताकार प्रिज्म एक ऐसा प्रिज्म होता है जिसके आधार भी आयत होते हैं। इसके कुल 6 फलक हैं, जिनमें से समान विपरीत फलकों के 3 जोड़े हैं, अर्थात एक आयताकार प्रिज्म में सभी विपरीत फलक समान हैं।
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