Number Systems Best Definition, 5 Example And Conversion Rule

संख्या प्रणाली ( Number Systems ) या अंक प्रणाली संख्याओं के नामकरण या प्रतिनिधित्व की प्रणाली है। हम जानते हैं कि एक संख्या एक गणितीय मान है जो वस्तुओं को गिनने या मापने में मदद करता है और यह विभिन्न गणितीय गणनाओं को करने में मदद करता है। गणित में विभिन्न प्रकार की संख्या प्रणालियाँ हैं जैसे दशमलव संख्या प्रणाली, द्विआधारी संख्या प्रणाली, अष्टक संख्या प्रणाली, हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली। इस लेख में, हम यह जानने जा रहे हैं कि गणित में संख्या प्रणाली क्या है? संख्या प्रणाली के विभिन्न प्रकार, रूपांतरण प्रक्रियाएं उदाहरणों के साथ विस्तार से।

What are Number Systems?

एक संख्या प्रणाली संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाली एक प्रणाली है। इसे अंक प्रणाली भी कहा जाता है और यह मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए मूल्यों के एक समूह को परिभाषित करता है। इन नंबरों का उपयोग अंकों के रूप में किया जाता है और सबसे आम 0 और 1 हैं, जिनका उपयोग बाइनरी संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। 0 से 9 तक के अंक अन्य प्रकार की संख्या प्रणालियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

Definition of Number Systems

एक संख्या प्रणाली को संख्याओं को व्यक्त करने के लिए लिखने की प्रणाली के रूप में परिभाषित किया गया है। यह अंकों या अन्य प्रतीकों का एक सुसंगत तरीके से उपयोग करके किसी दिए गए सेट की संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए गणितीय संकेतन है। यह प्रत्येक संख्या का एक अनूठा प्रतिनिधित्व प्रदान करता है और अंकों की अंकगणितीय और बीजगणितीय संरचना का प्रतिनिधित्व करता है। यह हमें जोड़, घटाव और भाग जैसे अंकगणितीय कार्यों को संचालित करने की भी अनुमति देता है।

Types of Number Systems

विभिन्न प्रकार की संख्या प्रणालियाँ हैं जिनमें चार मुख्य प्रकार हैं:

1. Decimal number system (Base- 10)
2. Binary number system (Base- 2)
3. Octal number system (Base-8)
4. Hexadecimal number system (Base- 16)

हम इनमें से प्रत्येक प्रणाली का एक-एक करके विस्तार से अध्ययन करेंगे।

Binary Number System

द्विआधारी संख्या प्रणाली (Binary Number Systems) केवल दो अंकों का उपयोग करती है: 0 और 1. इस प्रणाली में संख्याओं का आधार 2 होता है। अंक 0 और 1 को बिट्स कहा जाता है और 8 बिट मिलकर एक बाइट बनाते हैं। कंप्यूटर में डेटा को बिट्स और बाइट्स के रूप में स्टोर किया जाता है। बाइनरी नंबर सिस्टम अन्य नंबरों जैसे 2,3,4,5 और इसी तरह से डील नहीं करता है। उदाहरण के लिए: 100012, 1111012, 10101012 बाइनरी नंबर सिस्टम में संख्याओं के कुछ उदाहरण हैं।

Octal Number System

अष्टक संख्या प्रणाली आठ अंकों का उपयोग करती है: 0,1,2,3,4,5,6 और 7 जिसका आधार 8 है। इस प्रणाली का लाभ यह है कि इसमें कई अन्य प्रणालियों की तुलना में कम अंक होते हैं, इसलिए, वहाँ कम कम्प्यूटेशनल त्रुटियां होंगी। ऑक्टल नंबर सिस्टम में 8 और 9 जैसे अंक शामिल नहीं होते हैं। बाइनरी के रूप में, ऑक्टल नंबर सिस्टम का उपयोग मिनीकंप्यूटर में किया जाता है, लेकिन 0 से 7 तक के अंकों के साथ। उदाहरण के लिए: 358, 238, 1418 अष्टक संख्या प्रणाली में संख्याओं के कुछ उदाहरण हैं।

Decimal Number System

दशमलव संख्या प्रणाली दस अंकों का उपयोग करती है: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 और 9 आधार संख्या 10 के साथ। दशमलव संख्या प्रणाली वह प्रणाली है जिसका उपयोग हम आम तौर पर वास्तविक रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए करते हैं जीवन। यदि किसी संख्या को बिना आधार के निरूपित किया जाता है, तो इसका अर्थ है कि उसका आधार 10 है। उदाहरण के लिए: 72310, 3210, 425710 दशमलव संख्या प्रणाली में संख्याओं के कुछ उदाहरण हैं।

Hexadecimal Number System

हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली सोलह अंकों/अक्षरों का उपयोग करती है: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 और A,B,C,D,E,F आधार संख्या के साथ 16. यहां, हेक्साडेसिमल सिस्टम के AF का अर्थ है दशमलव संख्या प्रणाली के क्रमशः 10-15 नंबर। इस प्रणाली का उपयोग कंप्यूटर में बाइनरी सिस्टम के बड़े आकार के तारों को कम करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए: 7B316, 6F16, 4B2A16 हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली में संख्याओं के कुछ उदाहरण हैं।

Learn Math Shortcut Tips And Tricks Click Here

Conversion Rules of Number Systems

संख्या प्रणालियों के बीच रूपांतरण काफी आसान काम है। किसी भी संख्या प्रणाली से किसी भी संख्या को कुछ विधियों की सहायता से अन्य संख्या प्रणालियों में परिवर्तित किया जा सकता है जिनकी चर्चा नीचे की जाएगी:

Conversion from Decimal Number System to Other Number Systems

दशमलव संख्याओं को अंक 0-9 और आधार 10 के साथ दर्शाया जाता है। एक संख्या प्रणाली के रूपांतरण का अर्थ है एक आधार से दूसरे आधार में रूपांतरण। दशमलव संख्या प्रणाली का अन्य संख्या प्रणालियों में रूपांतरण निम्नलिखित है:

Decimal to Binary Conversion: 

डेसीमल नंबर्स को बेस 10 में दर्शाया जाता है, लेकिन बाइनरी नंबर्स का बेस 2 की होता हैं। इसलिए, डेसीमल नंबर्स को बाइनरी नंबर्स में बदलने के लिए, उस संख्या के बेस को बदलना होता है। इसके लिए दिए गए चरणों का पालन करें:

• चरण 1: दशमलव संख्या को उस संख्या प्रणाली के आधार से विभाजित करें जिसमें परिवर्तित किया जाना है। यहाँ रूपांतरण बाइनरी में है, इसलिए भाजक 2 होगा।
• चरण 2: भाग से प्राप्त शेष नई संख्या का सबसे छोटा सार्थक अंक बन जाएगा।
• चरण 3: भाग से प्राप्त भागफल अगला लाभांश बन जाएगा और आधार अर्थात 2 से विभाजित हो जाएगा।
• चरण 4: प्राप्त शेष दूसरा सबसे छोटा सार्थक अंक बन जाएगा अर्थात इसे पहले प्राप्त अंक के बाईं ओर जोड़ा जाएगा।

अब, चरण 3 और 4 को तब तक दोहराया जाता है जब तक प्राप्त भागफल 0 नहीं हो जाता है, और प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद प्राप्त शेष को मौजूदा अंकों के बाईं ओर जोड़ दिया जाता है।

सभी पुनरावृत्तियों के समाप्त होने के बाद, अंतिम प्राप्त शेष को सबसे महत्वपूर्ण अंक कहा जाएगा।

Decimal to Octal Conversion: 

अष्टक संख्याओं (Octal Number System) को आधार 8 में दर्शाया जाता है। इसलिए किसी दशमलव संख्या को अष्टक संख्या में बदलने के लिए उस संख्या के आधार को बदलना होता है। नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

चरण 1: दशमलव संख्या को उस संख्या प्रणाली के आधार से विभाजित करें जिसमें परिवर्तित किया जाना है। यहां रूपांतरण अष्टाधारी है, इसलिए भाजक 8 होगा।
चरण 2: भाग से प्राप्त शेष नई संख्या का सबसे छोटा सार्थक अंक बन जाएगा।
चरण 3: भाग से प्राप्त भागफल अगला लाभांश बन जाएगा और आधार अर्थात 8 से विभाजित हो जाएगा।
चरण 4: प्राप्त शेष दूसरा सबसे छोटा सार्थक अंक बन जाएगा अर्थात इसे पहले प्राप्त अंक के बाईं ओर जोड़ा जाएगा।

अब, चरण 3 और 4 को तब तक दोहराया जाता है जब तक कि प्राप्त भागफल 0 नहीं हो जाता है, और प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद प्राप्त शेष को मौजूदा अंकों के बाईं ओर जोड़ दिया जाता है।

For Example: (425)₁₀

425 को 8 से भाग दें जब तक कि भागफल 0 न हो जाए।

1. 425 को 8 से भाग देने पर हमें भागफल 53 और शेषफल 1 . प्राप्त होता है
2. 53 को 8 से भाग देने पर हमें भागफल 6 और शेषफल 5 . प्राप्त होता है
3. भागफल को 0 लेने पर 6 को 8 से भाग देने पर शेषफल 6 . प्राप्त होता है

तो, (425)₁₀ का Octal Number (651)₈ . है

Decimal to Hexadecimal Conversion:

हेक्साडेसिमल संख्याओं को आधार 16 में दर्शाया जाता है। इसलिए, दशमलव संख्या को हेक्साडेसिमल संख्या में बदलने के लिए, उस संख्या के आधार को बदलना होगा। नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

चरण 1: दशमलव संख्या को उस संख्या प्रणाली के आधार से विभाजित करें जिसमें परिवर्तित किया जाना है। यहां रूपांतरण हेक्स में है इसलिए भाजक 16 होगा।
चरण 2: भाग से प्राप्त शेष नई संख्या का सबसे छोटा सार्थक अंक बन जाएगा।
चरण 3: भाग से प्राप्त भागफल अगला लाभांश बन जाएगा और आधार अर्थात 16 से विभाजित हो जाएगा।
चरण 4: प्राप्त शेष दूसरा सबसे छोटा सार्थक अंक बन जाएगा अर्थात इसे पहले प्राप्त अंक के बाईं ओर जोड़ा जाएगा।

अब, चरण 3 और 4 को तब तक दोहराया जाता है जब तक कि प्राप्त भागफल 0 नहीं हो जाता है, और प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद प्राप्त शेष को मौजूदा अंकों के बाईं ओर जोड़ दिया जाता है।

Example: (650)₁₀

1. 650 को 16 से भाग देने पर हमें भागफल 40 और शेषफल 10 या A प्राप्त होता है
2. 40 को 16 से भाग देने पर हमें भागफल 2 और शेषफल 8 . प्राप्त होता है
3. भागफल को 0 लेने पर 2 को भाग देने पर हमें शेषफल 2 . प्राप्त होता है

तो, (650)₁₀ का हेक्साडेसिमल (28A)₁₆ है।

Conversion from Binary Number System to Other Number Systems:

बाइनरी नंबरों को अंक 0 और 1 और आधार 2 के साथ दर्शाया जाता है। एक संख्या प्रणाली के रूपांतरण का अर्थ है एक आधार से दूसरे आधार में रूपांतरण। बाइनरी नंबर सिस्टम का अन्य नंबर सिस्टम में रूपांतरण निम्नलिखित है:

Binary to Decimal Conversion: 

बाइनरी नंबरों को अंक 0 और 1 और आधार 2 के साथ दर्शाया जाता है। एक संख्या प्रणाली के रूपांतरण का अर्थ है एक आधार से दूसरे आधार में रूपांतरण। बाइनरी नंबर सिस्टम का अन्य नंबर सिस्टम में रूपांतरण निम्नलिखित है:

चरण 1: बाइनरी नंबर के प्रत्येक अंक को उस अंक के स्थानीय मान से गुणा करें, जो दाएं से बाएं यानी एलएसबी (LSB) से एमएसबी (MSB) तक शुरू होता है।
चरण 2: इस गुणन के परिणाम को जोड़ें और दशमलव संख्या बन जाएगी।

Example: To convert (11101011)₂ into a decimal number

1×2⁷+1×2⁶+1×2⁵+0x2⁴+1×2³+0x2²+1×2¹+1×2⁰

= 128+64+32+0+8+0+2+1

= (235)₁₀

Binary to Octal Conversion: 

बाइनरी नंबर को बेस 2 में दर्शाया जाता है लेकिन ऑक्टल नंबर बेस 8 के होते हैं। इसलिए बाइनरी नंबर को ऑक्टल नंबर में बदलने के लिए उस नंबर के बेस को बदलना होता है। नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

चरण 1: बाइनरी नंबर को दाएं से बाएं यानी एलएसबी (LSB) से एमएसबी (MSB) तक तीन अंकों के समूहों में विभाजित करें।
चरण 2: इन समूहों को समतुल्य अष्टाधारी अंकों में बदलें।

For Example: To convert (11101011)₂ into an octal number

=> {0x2²+1×2¹+1×2⁰ } {1×2²+0x2¹+1×2⁰} {0x2²+1×2¹+1×2⁰}

=> (353)₈

Binary to Hexadecimal Conversion: 

बाइनरी नंबर को बेस 2 में दर्शाया जाता है लेकिन हेक्साडेसिमल नंबर बेस 10 के होते हैं। इसलिए, बाइनरी नंबर को हेक्स नंबर में बदलने के लिए, उस नंबर के बेस को बदलना होता है। नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

चरण 1: बाइनरी संख्या को चार अंकों के समूहों में विभाजित करें जो दाएं से बाएं यानी एलएसबी (LSB) से एमएसबी (MSB) तक शुरू होते हैं।
चरण 2: इन समूहों को समतुल्य हेक्स अंकों में परिवर्तित करें।

For Example: To convert (1110101101101)₂ into an Hexadecimal number

=> {0x2³+0x2²+0x2¹+1×2⁰} {1×2³+1×2²+0x2¹+1×2⁰} {0x2³+1×2²+1×2¹+0x2⁰} {1×2³+1×2²+0x2¹+1×2⁰}

=> { 1 } { 13 } { 6} { 13 } Where 13 is D in hexcode

=> (1D6D)₁₆

Conversion from Octal Number System to Other Number Systems

अष्टक संख्याओं को अंक 0-7 और आधार 8 के साथ दर्शाया जाता है। एक संख्या प्रणाली के रूपांतरण का अर्थ है एक आधार से दूसरे आधार में रूपांतरण। ऑक्टल नंबर सिस्टम का अन्य नंबर सिस्टम में रूपांतरण निम्नलिखित हैं:

Octal to Decimal Conversion:

अष्टक संख्याओं को आधार 8 में दर्शाया जाता है, लेकिन दशमलव संख्याएँ आधार 10 की होती हैं। इसलिए, किसी अष्टक संख्या को दशमलव संख्या में बदलने के लिए उस संख्या के आधार को बदलना होता है। नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

चरण 1: ऑक्टल संख्या के प्रत्येक अंक को उस अंक के स्थानीय मान से गुणा करें, जो दाएं से बाएं यानी एलएसबी (LSB) से एमएसबी (MSB) तक शुरू होता है।
चरण 2: इस गुणन के परिणाम को जोड़ें और दशमलव संख्या बन जाएगी।

For Example: Convert (247)₈ To decimal number.

=> 2×8² + 4×8¹ + 7×8⁰

=> 128 + 32 + 7

=> (167)₁₀

Octal to Binary Conversion:

अष्टक संख्याओं को आधार 8 में दर्शाया जाता है, लेकिन द्विआधारी संख्याएँ आधार 2 की होती हैं। इसलिए, एक अष्टक संख्या को द्विआधारी संख्या में बदलने के लिए, उस संख्या के आधार को बदलना होता है। नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

चरण 1: अष्टक संख्या के प्रत्येक अंक को अलग-अलग लिखें।
चरण 2: प्रत्येक अंक को तीन बाइनरी अंकों के समकक्ष समूह में परिवर्तित करें।
चरण 3: इन समूहों को मिलाकर पूर्ण बाइनरी संख्या बनाएं।

For Example: (247)₈ is to be converted to binary

=> 2 4 7

=> (010) (110) (111)

=> (010110111)₂

Octal to Hexadecimal Conversion:

अष्टक संख्याओं को आधार 8 में दर्शाया जाता है, लेकिन हेक्साडेसिमल संख्याएँ आधार 16 की होती हैं। इसलिए, एक अष्टक संख्या को एक हेक्स संख्या में बदलने के लिए, उस संख्या के आधार को बदलना होगा। नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

चरण 1: हमें पहले ऑक्टल नंबर को बाइनरी में बदलना होगा। उसके लिए, उपरोक्त रूपांतरण में दिए गए चरणों का पालन करें।
चरण 2: अब बाइनरी नंबर को हेक्स नंबर में बदलने के लिए, बाइनरी अंकों को दाएं से बाएं यानी एलएसबी (LSB) से एमएसबी (MSB) तक चार अंकों के समूहों में विभाजित करें।
चरण 3: MSB से पहले इसे चार अंकों का एक उचित समूह बनाने के लिए शून्य जोड़ें (यदि आवश्यक हो)
चरण 4: अब इन समूहों को उनके प्रासंगिक दशमलव मानों में परिवर्तित करें।
चरण 5: 10-15 से मूल्यों के लिए, इसे हेक्स प्रतीकों में परिवर्तित करें यानी A-F.

For Example: (5456)₈ is to be converted to hex

=> 5 4 5 6

=>{ 101 } { 100 } { 101 } { 110 }

=> (101100101110)₂

=> {1×2³+0x2²+1×2¹+1×2⁰} {0x2³+0x2²+1×2¹+0x2⁰} {1×2³+1×2²+1×2¹+0x2⁰}

=> { 11 => B } { 2 } { 14 => E }

=>(B2E)₁₆

Conversion from Hexadecimal Number System to Other Number Systems

हेक्स नंबर 0-9 अंकों के साथ और Aसे F अक्षरों के साथ आधार 16 के साथ दर्शाए जाते हैं। एक संख्या प्रणाली के रूपांतरण का अर्थ है एक आधार से दूसरे आधार में रूपांतरण। हेक्साडेसिमल नंबर सिस्टम का अन्य नंबर सिस्टम में रूपांतरण निम्नलिखित हैं:

Hexadecimal to Decimal Conversion: 

हेक्साडेसिमल संख्याओं को आधार 16 में दर्शाया जाता है लेकिन दशमलव संख्याएँ आधार 10 की होती हैं। इसलिए, एक हेक्साडेसिमल संख्या को दशमलव संख्या में बदलने के लिए, उस संख्या के आधार को बदलना होगा। नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

चरण 1: हेक्स संख्या में उपयोग किए गए प्रतीकों का दशमलव मान लिखिए अर्थात A से F.
चरण 2: हेक्स संख्या के प्रत्येक अंक को उसके स्थानीय मान से गुणा करें। दाएं से बाएं यानी एलएसबी से एमएसबी तक।
चरण 3: गुणा का परिणाम जोड़ें और अंतिम योग दशमलव संख्या होगी।

For Example: To convert (8EB4)₁₆ into a decimal value

=> 8×16³ + 14×16² + 11×16¹ + 4×16⁰

=> 32768 + 3584 + 176 + 4

=> (36535)₁₀

Hexadecimal to Binary Conversion:

हेक्स संख्याओं को आधार 16 में दर्शाया जाता है, लेकिन द्विआधारी संख्याएं आधार 2 की होती हैं। इसलिए, एक हेक्साडेसिमल संख्या को एक द्विआधारी संख्या में बदलने के लिए, उस संख्या के आधार को बदलना होगा। नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

चरण 1: हेक्स प्रतीकों को इसके समकक्ष दशमलव मानों में परिवर्तित करें।
चरण 2: हेक्साडेसिमल संख्या के प्रत्येक अंक को अलग से लिखें।
चरण 3: प्रत्येक अंक को चार बाइनरी अंकों के समकक्ष समूह में परिवर्तित करें।
चरण 4: इन समूहों को मिलाकर पूर्ण बाइनरी संख्या बनाएं।

For Example: (B2E)₁₆ is to be converted to binary

=> B 2 E

=> 11 2 14 ( i.e equivalent decimal value)

=>{1011} { 0010 } { 1110 } ( i.e equivalent Binary value)

=>(101100101110)₂

Hexadecimal to Octal Conversion:

हेक्साडेसिमल संख्याओं को आधार 16 में दर्शाया जाता है, लेकिन अष्टक संख्याएँ आधार 8 की होती हैं। इसलिए, एक हेक्स संख्या को एक अष्टक संख्या में बदलने के लिए, उस संख्या के आधार को बदलना होगा। नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

चरण 1: हमें पहले हेक्साडेसिमल संख्या को बाइनरी में बदलना होगा। उसके लिए, उपरोक्त रूपांतरण में दिए गए चरणों का पालन करें।
चरण 2: अब बाइनरी नंबर को ऑक्टल नंबर में बदलने के लिए, बाइनरी अंकों को दाएं से बाएं यानी एलएसबी से एमएसबी तक तीन अंकों के समूहों में विभाजित करें।
चरण 3: इसे तीन अंकों का एक उचित समूह बनाने के लिए MSB से पहले शून्य जोड़ें (यदि आवश्यक हो)
चरण 4: अब इन समूहों को उनके प्रासंगिक दशमलव मानों में परिवर्तित करें।

For Example: (B2E)₁₆ is to be converted to hex

=> B 2 E

=> 11 2 14 ( i.e equivalent decimal value)

=>{ 101 } { 100 } { 101 } { 110 } ( i.e equivalent Binary value)

=> (5 4 5 6)₈

Number System Chart

Binary	Decimal	Octal	Hexadecimal
00000	0	000	00
00001	1	001	01
00010	2	002	02
00011	3	003	03
00100	4	004	04
00101	5	005	05
00110	6	006	06
00111	7	007	07
01000	8	008	08
01001	9	009	09
01010	10	010	0A
01011	11	011	0B
01100	12	012	0C
01101	13	013	0D
01110	14	014	0E
01111	15	015	0F
10000	16	016	10
10001	17	017	11
10010	18	018	12
10011	19	019	13
10100	20	020	14