Math Factors : Best Definition, Properties & How 2 Find Factors

गणित में, गुणनखंड (Math Factors) धनात्मक पूर्णांक होते हैं जो किसी संख्या को समान रूप से विभाजित कर सकते हैं। मान लीजिए कि हम गुणनफल प्राप्त करने के लिए दो संख्याओं को गुणा करते हैं। गुणा की गई संख्या गुणनफल के गुणनखंड हैं। प्रत्येक संख्या स्वयं का एक गुणनखंड है। गुणनखंडों के वास्तविक जीवन के कई उदाहरण हैं, जैसे एक डिब्बे में मिठाइयों की व्यवस्था, संख्याओं को एक पैटर्न में व्यवस्थित करना, बच्चों में चॉकलेट बांटना आदि। किसी संख्या के गुणनखंडों को खोजने के लिए, हमें गुणा या भाग विधि का उपयोग करने की आवश्यकता होती है।

What are the Factors In Math?

गुणनखंड वे संख्याएँ हैं, जो किसी संख्या को पूर्ण रूप से विभाजित कर सकती हैं। इसलिए, विभाजन के बाद, कोई शेष नहीं बचता है। गुणनखंड वे संख्याएँ हैं जिन्हें आप एक साथ गुणा करके दूसरी संख्या प्राप्त करते हैं। इस प्रकार, एक गुणनखंड दूसरी संख्या का भाजक होता है।

Some Examples of Factors

किसी दी गई संख्या के गुणनखंड ज्ञात करने की प्रक्रिया को उपयुक्त व्यवस्था करके बेहतर ढंग से समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 2 का गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, हमें दो वस्तुओं को अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित करना होगा। ये व्यवस्थाएँ किसी संख्या के गुणनखंडों को लिखने के लिए उपयोगी होती हैं। नीचे दिया गया चित्र 2 . के गुणनखंडों को दर्शाता है

Factors of Prime and Composite Numbers

एक अभाज्य संख्या के केवल दो गुणनखंड होते हैं, अर्थात् 1 और स्वयं वह संख्या। लेकिन भाज्य संख्याओं के दो से अधिक गुणनखंड होते हैं।

अभाज्य संख्याओं के गुणनखंड (Prime Numbers Factors)	भाज्य संख्याओं के गुणनखंड (Composite Number Factors)
2 -> 1, 2	4 -> 1, 2, 4
5 -> 1, 5	10 -> 1, 2, 5, 10
17 -> 1, 17	25 -> 1, 5, 25
23 -> 1, 23	32 -> 1, 2, 4, 8, 16, 32

Properties of Factors

किसी संख्या के गुणनखंडों के बारे में कुछ महत्वपूर्ण गुण नीचे सूचीबद्ध हैं:

• 1 प्रत्येक संख्या का एक गुणनखंड है
• प्रत्येक प्राकृत संख्या स्वयं का एक गुणनखंड होती है
• 0 और 1 के अलावा सभी पूर्ण संख्याओं के कम से कम दो गुणनखंड होते हैं
• प्रत्येक गुणनखंड दी गई संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है
• किसी दी गई संख्या के गुणनखंडों की संख्या परिमित होती है
• गुणन और भाग विधि दोनों का उपयोग करके गुणनखंडों का मूल्यांकन किया जा सकता है

अब, किसी के मन में यह प्रश्न हो सकता है कि किसी संख्या के कितने गुणनखंड हैं और इन गुणनखंडों को कैसे ज्ञात किया जाए। इस भाग में आप दी गई संख्या के गुणनखंड ज्ञात करने की प्रक्रिया को स्पष्ट रूप से समझेंगे।

How to Find Factors?

जैसा कि हम पहले ही चर्चा कर चुके हैं, किसी भी संख्या के गुणनखंड ज्ञात करने की दो संभावित विधियाँ हैं, जैसे:

• गुणा
• विभाजन ( भाग )

Finding Factors using Multiplication In Math

चूँकि दो संख्याओं के गुणन से एक गुणनफल इस प्रकार प्राप्त होता है कि दो संख्याएँ गुणनफल बन जाती हैं। इस प्रकार, गुणनखंडों को खोजने के लिए हमें नीचे दिए गए चरणों का पालन करना होगा:

• यदि हमें किसी संख्या जैसे N के गुणनखंड ज्ञात करने हैं, तो दो संख्याओं के गुणन को भिन्न-भिन्न तरीकों से इस प्रकार लिखिए कि परिणामी मान N के बराबर हो।
• सभी व्यक्तिगत संख्याएँ, जिसके परिणामस्वरूप उत्पाद N के बराबर होता है, गुणनखंड हैं

आइए एक उदाहरण देखें: 36 के गुणनखंड क्या हैं?

हम नीचे दिए गए अनुसार गुणन का उपयोग करके 36 के गुणनखंड ज्ञात कर सकते हैं:

1 × 36 = 36
2 × 18 = 36
3 × 12 = 36
4 × 9 = 36
6 × 6 = 36

अब हमें गुणन में दोहराई गई संख्याएँ मिल गई हैं। इसलिए, हमें 36 को अन्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखना बंद कर देना चाहिए।
इस प्रकार, 36 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 और 36 हैं।

Finding Math Factors Using Division

मान लीजिए कि एक संख्या N दी गई है जिसके लिए हमें गुणनखंड ज्ञात करने होंगे। अब विभाजन विधि का उपयोग करके N के गुणनखंड ज्ञात करने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:

• N . से छोटी संख्याएँ लिखिए
• अब, N को संख्याओं से इस प्रकार विभाजित करें कि परिणामी भागफल एक पूर्ण संख्या हो
• इस प्रकार, यहाँ शामिल सभी भाजक और भागफल बिना किसी दोहराव के N के गुणनखंड बन जाते हैं

आइए एक उदाहरण देखें: 6 के गुणनखंड क्या हैं?

6 से छोटी संख्याएँ 1, 2, 3, 4 और 5 हैं।
आइए हम इनमें से प्रत्येक संख्या से 6 को विभाजित करें

• 6/1 = 6
• 6/2 = 3
• 6/ 3 = 2
• 6/4 = 1 (remainder = 2)
• 6/5 = 1 (remainder = 1)
• 6/6 = 1

इस प्रकार हम देख सकते हैं, 4 और 5 के अलावा, अन्य सभी संख्याएँ 6 को समान रूप से विभाजित करती हैं। अत: 1, 2, 3 और 6, 6 के गुणनखंड हैं।

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Solved Problems on Factors In Mathematics

Q.1: 24 के गुणनखंड ज्ञात कीजिए।

हल: आइए संख्या 24 को संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखें।

1 × 24 = 24
2 × 12 = 24
3 × 8 = 24
4 × 6 = 24
6 × 4 = 24
अब, बार-बार गुणा होता है इसलिए हमें गुणा को रोकना होगा।
इसलिए, 24 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 12 और 24.

Q.2: 72 के गुणनखंड क्या हैं?

हल: अन्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में निरूपण 72 इस प्रकार दिया गया है:
1 × 72 = 72
2 × 36 = 72
3 × 24 = 72
4 × 18 = 72
6 × 12 = 72
8 × 9 = 72
9 × 8 = 72
अब, हमने गुणा दोहराया है इसलिए हमें गुणा को रोकना होगा।
इस प्रकार, 72 के गुणनखंड हैं: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 और 72

Math Factors of Perfect Numbers

वह संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग संख्या के दोगुने के बराबर हो, पूर्ण संख्या कहलाती है। इस परिभाषा से, हम कह सकते हैं कि संख्याएँ 6 और 28 पूर्ण हैं। इसे नीचे दिए गए अनुसार सिद्ध किया जा सकता है:
जैसा कि ऊपर बताया गया है, 6 के गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं।
अब हमें 28 का गुणनखंड ज्ञात करना है।

1 × 28 = 28
2 × 14 = 28
4 × 7 = 28
7 × 4 = 28
इस प्रकार, 28 के गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 हैं।
आइए इन संख्याओं के गुणनखंडों को जोड़ें।
6 के गुणनखंडों का योग:
1 + 2 + 3 + 6 = 12 = 2 × 6 (अर्थात संख्या का दोगुना)
28 के गुणनखंडों का योग:
1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28 (अर्थात संख्या का दोगुना)
अत: 6 और 28 पूर्ण संख्याएँ हैं।

Factors in Algebra Mathematics

प्राकृतिक संख्याओं की तरह, बीजीय व्यंजकों (Algebra Math Factors) के लिए भी गुणनखंड परिभाषित किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, 8x के गुणनखंड 1, 2, 4, 8, x और 8x हैं। यहाँ, 8x एक बीजीय व्यंजक है जहाँ 8 चर x का गुणांक है।
8x = 8 × x
ऐसे व्यंजकों के गुणनखंड ज्ञात करने के लिए गुणनखंडन विधियाँ हैं। अधिक जानने के लिए नीचे दिए गए लिंक पर क्लिक करें:

• बीजीय व्यंजक का गुणनखंडन ( Factorisation Of Algebraic Expression )
• बहुपदों का गुणनखंड ( Factorization of Polynomials )