पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज (Triangle and Pythagoras Theorem) की तीन भुजाओं के बीच संबंध की व्याख्या करता है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, कर्ण का वर्ग त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। आइए हम पाइथागोरस प्रमेय, इसकी व्युत्पत्तियों और समीकरणों के बारे में और जानें, जिसके बाद पाइथागोरस प्रमेय त्रिभुज और वर्गों पर हल किए गए उदाहरण हैं।
पाइथागोरस प्रमेय क्या है?
पाइथागोरस प्रमेय में कहा गया है कि यदि एक त्रिभुज समकोण (90 डिग्री) है, तो कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। निम्नलिखित त्रिभुज ABC को देखिए, जिसमें हमें BC2 = AB2 + AC2 प्राप्त होता है।
यहाँ, AB आधार है, AC ऊँचाई (ऊँचाई) है, और BC कर्ण है।
![\[ \boxed {BC^2 ={ AB^2 + AC^2}} \]](https://www.hinditutorials.in/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-245165e7e69ba9cffa06efe0b61bc4ba_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
पाइथागोरस प्रमेय समीकरण
पाइथागोरस प्रमेय समीकरण को c2 = a2 + b2 के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ ‘c’ = समकोण त्रिभुज का कर्ण और ‘a’ और ‘b’ अन्य दो पैर हैं। इसलिए, 90 डिग्री के बराबर एक कोण वाला कोई भी त्रिभुज पाइथागोरस त्रिभुज बनाता है और पाइथागोरस समीकरण को त्रिभुज में लागू किया जा सकता है।
पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास
पाइथागोरस प्रमेय को समोस के यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस द्वारा पेश किया गया था। वह एक प्राचीन आयोनियन यूनानी दार्शनिक थे। उन्होंने गणितज्ञों का एक समूह बनाया जो धार्मिक रूप से संख्याओं पर काम करते थे और भिक्षुओं की तरह रहते थे। अंत में, ग्रीक गणितज्ञ ने प्रमेय को बताया इसलिए इसका नाम उनके नाम पर “पाइथागोरस प्रमेय” रखा गया। यद्यपि इसे कई शताब्दियों पहले पेश किया गया था, वर्तमान युग में इसका उपयोग व्यावहारिक स्थितियों से निपटने के लिए अनिवार्य है।
Triangle and Pythagoras Theorem Learn In hindi
यद्यपि पाइथागोरस ने प्रमेय को पेश किया और लोकप्रिय बनाया, पाइथागोरस के जन्म से 1000 साल पहले अन्य सभ्यताओं में इसके अस्तित्व को साबित करने के लिए पर्याप्त सबूत हैं। सबसे पुराना ज्ञात साक्ष्य पुराने बेबीलोन काल में 20 वीं से 16 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बीच का है।
पाइथागोरस प्रमेय सूत्र | Triangle and Pythagoras Theorem
पाइथागोरस प्रमेय सूत्र बताता है कि एक समकोण त्रिभुज ABC में, कर्ण का वर्ग अन्य दो पैरों के वर्ग के योग के बराबर होता है। यदि AB और AC भुजाएँ हैं और BC त्रिभुज का कर्ण है, तो: BC2 = AB2 + AC2। इस मामले में, AB आधार है, AC ऊँचाई या ऊँचाई है, और BC कर्ण है।
पाइथागोरस प्रमेय सूत्र को समझने का एक अन्य तरीका निम्न आकृति का उपयोग कर रहा है जो दर्शाता है कि समकोण त्रिभुज (कर्ण) की सबसे लंबी भुजा से बने वर्ग का क्षेत्रफल अन्य दो द्वारा बनाए गए वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। दाहिने त्रिभुज की भुजाएँ।
Proof of Pythagorean Theorem Formula using the Algebraic Method
पाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण बीजगणितीय पद्धति का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आइए हम निम्न आकृति में दिखाए गए मानों a, b, और c का उपयोग करें और नीचे दिए गए चरणों का पालन करें:
- चरण 1: दिए गए वर्ग PQRS में चार सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों को व्यवस्थित कीजिए, जिनकी भुजा a + b है। चार समकोण त्रिभुजों में आधार के रूप में ‘b’, ऊंचाई के रूप में ‘a’ और कर्ण के रूप में ‘c’ होता है।
- चरण 2: 4 त्रिभुज आंतरिक वर्ग WXYZ बनाते हैं, जैसा कि दिखाया गया है, जिसमें ‘c’ चार भुजाएँ हैं।
- चरण 3: चार त्रिभुजों को व्यवस्थित करके वर्ग WXYZ का क्षेत्रफल c2 है।
- चरण 4: भुजा (a + b) वाले वर्ग PQRS का क्षेत्रफल = 4 त्रिभुजों का क्षेत्रफल + भुजा ‘c’ वाले वर्ग WXYZ का क्षेत्रफल। इसका अर्थ है (a + b)2 = [4 × 1/2 × (a × b)] + c2। इससे a2 + b2 + 2ab = 2ab + c2 होता है। इसलिए, a2 + b2 = c2। इसलिए साबित हुआ।
Pythagorean Theorem Formula Proof using Similar Triangles
दो त्रिभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनके संगत कोण समान माप के हों और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों। साथ ही, यदि कोण समान माप के हों, तो ज्या नियम का उपयोग करके हम कह सकते हैं कि संगत भुजाएँ भी समान अनुपात में होंगी। इसलिए, समरूप त्रिभुजों में संगत कोण हमें भुजाओं की लंबाई के समान अनुपात में ले जाते हैं।
पाइथागोरस प्रमेय सूत्र की व्युत्पत्ति
एक समकोण त्रिभुज ABC पर विचार करें, जो B पर समकोण है। AC को D पर मिलाने वाला एक लंब BD खींचिए।
n △ABD and △ACB,
- ∠A = ∠A (common)
- ∠ADB = ∠ABC (both are right angles)
Thus, △ABD ∼ △ACB (by AA similarity criterion)
Similarly, we can prove △BCD ∼ △ACB.
Thus △ABD ∼ △ACB, Therefore, AD/AB = AB/AC. We can say that AD × AC = AB2.
Similarly, △BCD ∼ △ACB. Therefore,CD/BC = BC/AC. We can also say that CD × AC = BC2.
Adding these 2 equations, we get AB2 + BC2 = (AD × AC) + (CD × AC)
AB2 + BC2 =AC(AD +DC)
AB2 + BC2 =AC2
Hence proved.
पाइथागोरस प्रमेय त्रिभुज
समकोण त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय के नियम का पालन करते हैं और उन्हें पाइथागोरस प्रमेय त्रिभुज कहा जाता है। ऐसे त्रिभुज की तीनों भुजाओं को सामूहिक रूप से पाइथागोरस त्रिक कहा जाता है। पाइथागोरस प्रमेय के सभी त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय का पालन करते हैं जो कहता है कि कर्ण का वर्ग समकोण त्रिभुज की दो भुजाओं के योग के बराबर होता है। इसे c2 = a2 + b2 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है; जहाँ ‘c’ कर्ण है और ‘a’ और ‘b’ त्रिभुज के दो पैर हैं।
पाइथागोरस प्रमेय वर्ग
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर बने वर्ग का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं पर बने वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। इन वर्गों को पाइथागोरस वर्ग कहा जाता है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोग
पाइथागोरस प्रमेय के अनुप्रयोगों को हमारे दैनिक जीवन में देखा जा सकता है। यहाँ पाइथागोरस प्रमेय के कुछ अनुप्रयोग दिए गए हैं। Triangle and Pythagoras Theorem Applications
इंजीनियरिंग और निर्माण क्षेत्र
अधिकांश आर्किटेक्ट अज्ञात आयामों को खोजने के लिए पाइथागोरस प्रमेय की तकनीक का उपयोग करते हैं। जब लंबाई या चौड़ाई ज्ञात हो तो किसी विशेष त्रिज्यखंड के व्यास की गणना करना बहुत आसान होता है। यह मुख्य रूप से इंजीनियरिंग क्षेत्रों में दो आयामों में उपयोग किया जाता है।
सुरक्षा कैमरों में चेहरा पहचान
सुरक्षा कैमरों में चेहरा पहचानने की सुविधा पाइथागोरस प्रमेय की अवधारणा का उपयोग करती है, अर्थात, सुरक्षा कैमरे और व्यक्ति के स्थान के बीच की दूरी को नोट किया जाता है और अवधारणा का उपयोग करके लेंस के माध्यम से अच्छी तरह से प्रक्षेपित किया जाता है।
लकड़ी का काम और इंटीरियर डिजाइनिंग
पाइथागोरस की अवधारणा को इंटीरियर डिजाइनिंग और घरों और इमारतों की वास्तुकला में लागू किया जाता है।
पथ प्रदर्शन(Navigation)
समुद्र में यात्रा करने वाले लोग इस तकनीक का उपयोग अपने संबंधित स्थानों पर जाने के लिए कम से कम दूरी और मार्ग खोजने के लिए करते हैं।
Welcome to HindiTutorials, your go-to platform for learning and mastering concepts in Hindi! Our mission is to make education accessible and simple for everyone by providing high-quality tutorials on programming, technology, and various other topics.